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integral of (2sin(x))/(cos(2x)cos(x))

Lösung

\int \frac{2 sin ( x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )} d x

- ln 1 - tan^{2} (x) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{2 sin ( x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{sin ( x )}{cos ( 2 x ) cos ( x )} d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 2 \cdot \int \frac{sin ( x )}{( cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) ) cos ( x )} d x

Vereinfache

\frac{sin ( x )}{( cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x ) ) cos ( x )} : \frac{tan ( x )}{cos ( 2 x )}

= 2 \cdot \int \frac{tan ( x )}{cos ( 2 x )} d x

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{tan ( \frac{u}{2} )}{2 cos ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{tan ( \frac{u}{2} )}{cos ( u )} d u

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{2 v}{1 - v ^{2}} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{v}{1 - v ^{2}} d v

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int - \frac{1}{2 w} d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 (- \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{w} d w)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{w} d w = ln (∣ w ∣)

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 (- \frac{1}{2} ln ∣ w ∣)

Ersetze zurück

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 (- \frac{1}{2} ln 1 - tan^{2} (\frac{2 x}{2}))

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 (- \frac{1}{2} ln 1 - tan^{2} (\frac{2 x}{2})) : - ln 1 - tan^{2} (x)

= - ln 1 - tan^{2} (x)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - ln 1 - tan^{2} (x) + C

\int \frac{6 x}{( 3 x ^{2} - 4 ) ^{4}} d x

\int \frac{2 x ^{2} + x}{1 + 1 - x ^{2}} d x

\int x (x^{2} - 5) d x

\int \frac{1}{( 2 + cos ( x ) ) sin ( x )} d x

\int e^{2 x - 1} d x