integral of 1/((1+e^x)^2)

Lösung

\int \frac{1}{( 1 + e ^{x} ) ^{2}} d x

- ln ∣ 1 + e^{x} ∣ + \frac{1}{1 + e ^{x}} + x + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( 1 + e ^{x} ) ^{2}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{u ^{2} ( u - 1 )} d u

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{u ^{2} ( u - 1 )} : - \frac{1}{u} - \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u - 1}

= \int - \frac{1}{u} - \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u - 1} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int \frac{1}{u} d u - \int \frac{1}{u ^{2}} d u + \int \frac{1}{u - 1} d u

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

\int \frac{1}{u ^{2}} d u = - \frac{1}{u}

\int \frac{1}{u - 1} d u = ln ∣ u - 1 ∣

= - ln ∣ u ∣ - (- \frac{1}{u}) + ln ∣ u - 1 ∣

Setze in

u = 1 + e^{x}

ein

= - ln ∣ 1 + e^{x} ∣ - (- \frac{1}{1 + e ^{x}}) + ln ∣ 1 + e^{x} - 1 ∣

Vereinfache

- ln ∣ 1 + e^{x} ∣ - (- \frac{1}{1 + e ^{x}}) + ln ∣ 1 + e^{x} - 1 ∣ : - ln ∣ 1 + e^{x} ∣ + \frac{1}{1 + e ^{x}} + x

= - ln ∣ 1 + e^{x} ∣ + \frac{1}{1 + e ^{x}} + x

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - ln ∣ 1 + e^{x} ∣ + \frac{1}{1 + e ^{x}} + x + C

\int \frac{1}{( arcsin ( x ) ) ^{2} 1 - x ^{2}} d x

\int \frac{ln ( 1 + e ^{x} )}{e ^{x}} d x

\int \frac{1}{x ^{4} x ^{2} - 4} d x

\int \frac{1 + cos ( x )}{x + sin ( x )} d x

\int \frac{5 - 2 x}{12 x - 4 x ^{2}} d x