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integral de 1/(sqrt(1+x-x^2))

Solução

\int \frac{1}{1 + x - x ^{2}} d x

arcsin (\frac{1}{5} (2 x - 1)) + C

Passos da solução

\int \frac{1}{1 + x - x ^{2}} d x

Aplicar as propriedades dos radicais:

a = a^{\frac{1}{2}}

= \int \frac{1}{( 1 + x - x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} d x

Aplicar as propriedades dos expoentes:

\frac{1}{a ^{b}} = a^{- b}

\frac{1}{( 1 + x - x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} = (1 + x - x^{2})^{- \frac{1}{2}}

= \int (1 + x - x^{2})^{- \frac{1}{2}} d x

Completar o cuadrado

1 + x - x^{2} : - (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{5}{4}

= \int (- (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{5}{4})^{- \frac{1}{2}} d x

Aplicar integração por substituição

= \int \frac{2}{- 4 u ^{2} + 5} d u

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{- 4 u ^{2} + 5} d u

Aplicar integração por substituição trigonométrica

= 2 \cdot \int \frac{1}{2} d v

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 d v

Integral de uma constante:

\int a d x = a x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot v

Substituir na equação

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot arcsin (\frac{2}{5} (x - \frac{1}{2}))

Simplificar

2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot arcsin (\frac{2}{5} (x - \frac{1}{2})) : arcsin (\frac{1}{5} (2 x - 1))

= arcsin (\frac{1}{5} (2 x - 1))

Adicionar uma constante à solução

= arcsin (\frac{1}{5} (2 x - 1)) + C

\int \frac{1}{x ^{2} + 2 x + 4} d x

\int \frac{x + 5}{x ^{2} - 6 x + 13} d x

\int \frac{3 x ^{4} + 3 x ^{2} + 1}{x ^{2} + 1} d x

\int \frac{x}{1 + 5 x} d x

\int \frac{1}{( x - 2 ) ( x - 1 ) ^{2}} d x