integral of 1/(v^2+2v)

Lösung

\int \frac{1}{v ^{2} + 2 v} d v

- \frac{1}{2} ln ∣ v + 2 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ v ∣ + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{v ^{2} + 2 v} d v

Vervollständige das Quadrat

v^{2} + 2 v : (v + 1)^{2} - 1

= \int \frac{1}{( v + 1 ) ^{2} - 1} d v

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{u ^{2} - 1} d u

Faktorisiere

u^{2} - 1 : - (- u^{2} + 1)

= \int \frac{1}{- ( - u ^{2} + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u = \frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}

= - (\frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2})

Setze in

u = v + 1

ein

= - (\frac{ln ∣ v + 1 + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v + 1 - 1 ∣}{2})

Vereinfache

- (\frac{ln ∣ v + 1 + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v + 1 - 1 ∣}{2}) : - \frac{1}{2} ln ∣ v + 2 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ v ∣

= - \frac{1}{2} ln ∣ v + 2 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ v ∣

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{2} ln ∣ v + 2 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ v ∣ + C

\frac{d}{d x} (- (3 x + 2) cos (2 x))

y^{^{'}} = x^{2} sec (y)

\frac{d y}{d t} = - 4 y + 3 e^{- t}

y + 2 y^{7} = (y^{3} + 6 x) y^{^{'}}

\int \frac{1}{x ^{2} \cdot x ^{2} + 1} d x