integral from 0 to 2pi of e^{i(θ-x)}

解

\int_{0}^{2 π} e^{i (θ - x)} d x

- sin (θ - 2 π) + sin (θ) + i (- cos (θ) + cos (θ - 2 π))

解答ステップ

\int_{0}^{2 π} e^{i (θ - x)} d x

虚数の規則を適用する:

e^{ia} = cos (a) + i sin (a)

= \int_{0}^{2 π} cos (θ - x) + i sin (θ - x) d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int_{0}^{2 π} cos (θ - x) d x + \int_{0}^{2 π} i sin (θ - x) d x

\int_{0}^{2 π} cos (θ - x) d x = - sin (θ - 2 π) + sin (θ)

\int_{0}^{2 π} i sin (θ - x) d x = i (- cos (θ) + cos (θ - 2 π))

= - sin (θ - 2 π) + sin (θ) + i (- cos (θ) + cos (θ - 2 π))