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人気のある微分積分 >

integral of (x+3)/(x^2sqrt(2x+3))

解

\int \frac{x + 3}{x ^{2} 2 x + 3} d x

解

- \frac{2 x + 3}{x} + C

解答ステップ

\int \frac{x + 3}{x ^{2} 2 x + 3} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{2 ( u ^{2} + 3 )}{( u ^{2} - 3 ) ^{2}} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{u ^{2} + 3}{( u ^{2} - 3 ) ^{2}} d u

置換積分法を適用する

= 2 \cdot \int \frac{v ^{2} + 1}{3 ( v ^{2} - 1 ) ^{2}} d v

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \int \frac{v ^{2} + 1}{( v ^{2} - 1 ) ^{2}} d v

因数

\frac{v ^{2} + 1}{( v ^{2} - 1 ) ^{2}}

= 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \int \frac{v ^{2} + 1}{( v + 1 ) ^{2} ( v - 1 ) ^{2}} d v

u置換積分法を適用する

= 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \int \frac{w ^{2} - 2 w + 2}{w ^{2} ( w - 2 ) ^{2}} d w

以下の部分分数を得る:

\frac{w ^{2} - 2 w + 2}{w ^{2} ( w - 2 ) ^{2}} : \frac{1}{2 w ^{2}} + \frac{1}{2 ( w - 2 ) ^{2}}

= 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{2 w ^{2}} + \frac{1}{2 ( w - 2 ) ^{2}} d w

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{3} (\int \frac{1}{2 w ^{2}} d w + \int \frac{1}{2 ( w - 2 ) ^{2}} d w)

\int \frac{1}{2 w ^{2}} d w = - \frac{1}{2 w}

\int \frac{1}{2 ( w - 2 ) ^{2}} d w = - \frac{1}{2 ( w - 2 )}

= 2 \cdot \frac{1}{3} (- \frac{1}{2 w} - \frac{1}{2 ( w - 2 )})

代用を戻す

= 2 \cdot \frac{1}{3} - \frac{1}{2 ( \frac{2 x + 3}{3} + 1 )} - \frac{1}{2 ( \frac{2 x + 3}{3} + 1 - 2 )}

簡素化

2 \cdot \frac{1}{3} - \frac{1}{2 ( \frac{2 x + 3}{3} + 1 )} - \frac{1}{2 ( \frac{2 x + 3}{3} + 1 - 2 )} : - \frac{2 x + 3}{x}

= - \frac{2 x + 3}{x}

定数を解答に追加する

= - \frac{2 x + 3}{x} + C

グラフ

人気の例

y^'=(x^4y^4-2x^4)/(y^3)

y^{^{'}} = \frac{x ^{4} y ^{4} - 2 x ^{4}}{y ^{3}}

derivative (x^2-2x-8)/(x+2)

d er i v a t i v e \frac{x ^{2} - 2 x - 8}{x + 2}

derivative f(x)= 1/((x^3+8)^5)

d er i v a t i v e f (x) = \frac{1}{( x ^{3} + 8 ) ^{5}}

derivative of (sec(x)/(8+sec(x)))

\frac{d}{d x} (\frac{sec ( x )}{8 + sec ( x )})

derivative f(x)=-csc(x)cot(x)

d er i v a t i v e f (x) = - csc (x) cot (x)