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人気のある微分積分 >

integral of (e^x+1/(e^x))^2

解

\int (e^{x} + \frac{1}{e ^{x}})^{2} d x

解

\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 x - \frac{1}{2 e ^{2 x}} + C

解答ステップ

\int (e^{x} + \frac{1}{e ^{x}})^{2} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{u ^{4} + 2 u ^{2} + 1}{u ^{3}} d u

拡張

\frac{u ^{4} + 2 u ^{2} + 1}{u ^{3}} : u + \frac{2}{u} + \frac{1}{u ^{3}}

= \int u + \frac{2}{u} + \frac{1}{u ^{3}} d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int u d u + \int \frac{2}{u} d u + \int \frac{1}{u ^{3}} d u

\int u d u = \frac{u ^{2}}{2}

\int \frac{2}{u} d u = 2 ln ∣ u ∣

\int \frac{1}{u ^{3}} d u = - \frac{1}{2 u ^{2}}

= \frac{u ^{2}}{2} + 2 ln ∣ u ∣ - \frac{1}{2 u ^{2}}

代用を戻す

u = e^{x}

= \frac{( e ^{x} ) ^{2}}{2} + 2 ln ∣ e^{x} ∣ - \frac{1}{2 ( e ^{x} ) ^{2}}

簡素化

\frac{( e ^{x} ) ^{2}}{2} + 2 ln ∣ e^{x} ∣ - \frac{1}{2 ( e ^{x} ) ^{2}} : \frac{1}{2} e^{2 x} + 2 x - \frac{1}{2 e ^{2 x}}

= \frac{1}{2} e^{2 x} + 2 x - \frac{1}{2 e ^{2 x}}

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} e^{2 x} + 2 x - \frac{1}{2 e ^{2 x}} + C

グラフ

人気の例

integral from 0 to 1 of cos(x^2)

\int_{0}^{1} cos (x^{2}) d x

2t*(dy)/(dt)-4y=sqrt(t)

2 t \cdot \frac{d y}{d t} - 4 y = t

integral of ((x^2)/4+4x+19)^2

\int (\frac{x ^{2}}{4} + 4 x + 19)^{2} d x

(8y^2-xy)dx+x^2dy=0

(8 y^{2} - x y) d x + x^{2} d y = 0

(e^{x} sin (x))^{^{'}}