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人気のある微分積分 >

integral of (3cos(x))/(sin^2(x)+sin(x))

解

\int \frac{3 cos ( x )}{sin ^{2} ( x ) + sin ( x )} d x

解

- 3 (- ln tan (\frac{x}{2}) + 2 ln tan (\frac{x}{2}) + 1) + C

解答ステップ

\int \frac{3 cos ( x )}{sin ^{2} ( x ) + sin ( x )} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int \frac{cos ( x )}{sin ^{2} ( x ) + sin ( x )} d x

三角関数の公式を使用して書き換える

= 3 \cdot \int \frac{cos ( x )}{1 - cos ^{2} ( x ) + sin ( x )} d x

u置換積分法を適用する

= 3 \cdot \int - \frac{u - 1}{u ( u + 1 )} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 (- \int \frac{u - 1}{u ( u + 1 )} d u)

以下の部分分数を得る:

\frac{u - 1}{u ( u + 1 )} : - \frac{1}{u} + \frac{2}{u + 1}

= 3 (- \int - \frac{1}{u} + \frac{2}{u + 1} d u)

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 3 (- (- \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{u + 1} d u))

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

\int \frac{2}{u + 1} d u = 2 ln ∣ u + 1 ∣

= 3 (- (- ln ∣ u ∣ + 2 ln ∣ u + 1 ∣))

代用を戻す

u = tan (\frac{x}{2})

= 3 (- (- ln tan (\frac{x}{2}) + 2 ln tan (\frac{x}{2}) + 1))

簡素化

= - 3 (- ln tan (\frac{x}{2}) + 2 ln tan (\frac{x}{2}) + 1)

定数を解答に追加する

= - 3 (- ln tan (\frac{x}{2}) + 2 ln tan (\frac{x}{2}) + 1) + C

グラフ

人気の例

sum from n=3 to infinity of n/(e^{3n)}

n = 3 \sum \infty \frac{n}{e ^{3 n}}

derivative of (x^3/(x^2-4))

\frac{d}{d x} (\frac{x ^{3}}{x ^{2} - 4})

面積 y=x^2-7x+6,x=2,x=6

a re a y = x^{2} - 7 x + 6, x = 2, x = 6

limit as x approaches-5 of (1/5+1/x)/(5+x)

x \to - 5 lim (\frac{\frac{1}{5} + \frac{1}{x}}{5 + x})

limit as x approaches 1 of 1/((1-x))

x \to 1 lim (\frac{1}{( 1 - x )})