integral of (e^{2y})/(e^y-1)

Lösung

\int \frac{e ^{2 y}}{e ^{y} - 1} d y

e^{y} - 1 + ln ∣ e^{y} - 1 ∣ + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{e ^{2 y}}{e ^{y} - 1} d y

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{2 ( u - 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{u - 1} d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{2 ( v + 1 )}{v} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{v + 1}{v} d v

Multipliziere aus

\frac{v + 1}{v} : 1 + \frac{1}{v}

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int 1 + \frac{1}{v} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 2 (\int 1 d v + \int \frac{1}{v} d v)

\int 1 d v = v

\int \frac{1}{v} d v = ln ∣ v ∣

= \frac{1}{2} \cdot 2 (v + ln ∣ v ∣)

Ersetze zurück

= \frac{1}{2} \cdot 2 (e^{2 y} - 1 + ln e^{2 y} - 1)

Vereinfache

\frac{1}{2} \cdot 2 (e^{2 y} - 1 + ln e^{2 y} - 1) : e^{y} - 1 + ln ∣ e^{y} - 1 ∣

= e^{y} - 1 + ln ∣ e^{y} - 1 ∣

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= e^{y} - 1 + ln ∣ e^{y} - 1 ∣ + C

\int sec^{3} (5 x) d x

d er i v a t i v e y = arcsin (x)

\int \frac{x}{( x ^{2} - 1 ) ^{\frac{1}{2}}} d x

d er i v a t i v e 2 z

\frac{\partial}{\partial y} (x^{2} \cdot e^{- 2 y})