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受欢迎的微积分 >

integral of (x^2)/((9x^2-4)^{5/2)}

解答

\int \frac{x ^{2}}{( 9 x ^{2} - 4 ) ^{\frac{5}{2}}} d x

解答

- \frac{x ^{3}}{12 ( 9 x ^{2} - 4 ) ^{\frac{3}{2}}} + C

求解步骤

\int \frac{x ^{2}}{( 9 x ^{2} - 4 ) ^{\frac{5}{2}}} d x

使用三角换元法

= \int \frac{sec ^{3} ( u )}{108 tan ^{4} ( u )} d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{108} \cdot \int \frac{sec ^{3} ( u )}{tan ^{4} ( u )} d u

使用基本三角恒等式:

\frac{1}{tan ( x )} = cot (x)

= \frac{1}{108} \cdot \int cot^{4} (u) sec^{3} (u) d u

使用三角恒等式改写

= \frac{1}{108} \cdot \int \frac{cos ( u )}{sin ^{4} ( u )} d u

使用换元积分法

= \frac{1}{108} \cdot \int \frac{1}{v ^{4}} d v

使用幂法则

= \frac{1}{108} (- \frac{1}{3 v ^{3}})

代回

= \frac{1}{108} (- \frac{1}{3 sin ^{3} ( arcsec ( \frac{3}{2} x ) )})

化简

\frac{1}{108} (- \frac{1}{3 sin ^{3} ( arcsec ( \frac{3}{2} x ) )}) : - \frac{x ^{3}}{12 ( 9 x ^{2} - 4 ) ^{\frac{3}{2}}}

= - \frac{x ^{3}}{12 ( 9 x ^{2} - 4 ) ^{\frac{3}{2}}}

解答补常数

= - \frac{x ^{3}}{12 ( 9 x ^{2} - 4 ) ^{\frac{3}{2}}} + C

作图

流行的例子

integral from 0 to pi of (5e^x+3sin(x))

\int_{0}^{π} (5 e^{x} + 3 sin (x)) d x

(\partial)/(\partial x)(3tsin^2(t))

\frac{\partial}{\partial x} (3 t sin^{2} (t))

derivative f(x)=5x-1

d er i v a t i v e f (x) = 5 x - 1

x^4y^'+3x^3y=x^2e^x

x^{4} y^{^{'}} + 3 x^{3} y = x^{2} e^{x}

derivative of (3x-9/(2x+4))

\frac{d}{d x} (\frac{3 x - 9}{2 x + 4})