integral of 1/(sqrt(1+e^{4x))}

Lösung

\int \frac{1}{1 + e ^{4 x}} d x

- \frac{1}{4} (ln 1 + e^{4 x} + 1 - ln 1 + e^{4 x} - 1) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{1 + e ^{4 x}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{2 ( u ^{2} - 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{u ^{2} - 1} d u

Faktorisiere

u^{2} - 1 : - (- u^{2} + 1)

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{- ( - u ^{2} + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u = \frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}

= \frac{1}{2} (- (\frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}))

Setze in

u = 1 + e^{4 x}

ein

= \frac{1}{2} (- (\frac{ln 1 + e ^{4 x} + 1}{2} - \frac{ln 1 + e ^{4 x} - 1}{2}))

Vereinfache

\frac{1}{2} (- (\frac{ln 1 + e ^{4 x} + 1}{2} - \frac{ln 1 + e ^{4 x} - 1}{2})) : - \frac{1}{4} (ln 1 + e^{4 x} + 1 - ln 1 + e^{4 x} - 1)

= - \frac{1}{4} (ln 1 + e^{4 x} + 1 - ln 1 + e^{4 x} - 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{4} (ln 1 + e^{4 x} + 1 - ln 1 + e^{4 x} - 1) + C

l a pl a ce t r an s f or m e^{- x}

\int - 6 x ln^{2} (x) d x

\int sin^{3} (t) d t

11 (t + 1) \frac{d y}{d t} - 9 y = 18 t

\int_{1}^{e^{2}} x^{4} ln (x) d x