интеграл от 2cos(ln(x))

Решение

\int 2 cos (ln (x)) d x

x sin (ln (x)) + x cos (ln (x)) + C

Шаги решения

\int 2 cos (ln (x)) d x

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int cos (ln (x)) d x

Применить подстановку интеграла

= 2 \cdot \int cos (u) e^{u} d u

Применить интегрирование по частям

= 2 (e^{u} sin (u) - \int e^{u} sin (u) d u)

Применить интегрирование по частям

= 2 (e^{u} sin (u) - (- e^{u} cos (u) - \int - e^{u} cos (u) d u))

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 (e^{u} sin (u) - (- e^{u} cos (u) - (- \int e^{u} cos (u) d u)))

Поэтому

2 \cdot \int e^{u} cos (u) d u = 2 (e^{u} sin (u) - (- e^{u} cos (u) - (- \int e^{u} cos (u) d u)))

Отделять

\int e^{u} cos (u) d u

= 2 (\frac{e ^{u} sin ( u )}{2} + \frac{e ^{u} cos ( u )}{2})

Делаем обратную замену

u = ln (x)

= 2 (\frac{e ^{l n (x)} sin ( ln ( x ) )}{2} + \frac{e ^{l n (x)} cos ( ln ( x ) )}{2})

Упростите

2 (\frac{e ^{l n (x)} sin ( ln ( x ) )}{2} + \frac{e ^{l n (x)} cos ( ln ( x ) )}{2}) : x sin (ln (x)) + x cos (ln (x))

= x sin (ln (x)) + x cos (ln (x))

Добавить константу к решению

= x sin (ln (x)) + x cos (ln (x)) + C