integral of (e^{5x})/((e^{2x)+1)^2}

Lösung

\int \frac{e ^{5 x}}{( e ^{2 x} + 1 ) ^{2}} d x

\frac{2 e ^{3 x} - 3 e ^{2 x} arctan ( e ^{x} ) - 3 arctan ( e ^{x} ) + 3 e ^{x}}{2 ( e ^{2 x} + 1 )} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{e ^{5 x}}{( e ^{2 x} + 1 ) ^{2}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{( u - 1 ) ^{\frac{3}{2}}}{2 u ^{2}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{( u - 1 ) ^{\frac{3}{2}}}{u ^{2}} d u

Wende die partielle Integration an

= \frac{1}{2} (- \frac{( u - 1 ) ^{\frac{3}{2}}}{u} - \int - \frac{3 u - 1}{2 u} d u)

\int - \frac{3 u - 1}{2 u} d u = - 3 (- arctan (u - 1) + u - 1)

= \frac{1}{2} (- \frac{( u - 1 ) ^{\frac{3}{2}}}{u} - (- 3 (- arctan (u - 1) + u - 1)))

Setze in

u = e^{2 x} + 1

ein

= \frac{1}{2} - \frac{( e ^{2 x} + 1 - 1 ) ^{\frac{3}{2}}}{e ^{2 x} + 1} - (- 3 (- arctan (e^{2 x} + 1 - 1) + e^{2 x} + 1 - 1))

Vereinfache

\frac{1}{2} - \frac{( e ^{2 x} + 1 - 1 ) ^{\frac{3}{2}}}{e ^{2 x} + 1} - (- 3 (- arctan (e^{2 x} + 1 - 1) + e^{2 x} + 1 - 1)) : \frac{2 e ^{3 x} - 3 e ^{2 x} arctan ( e ^{x} ) - 3 arctan ( e ^{x} ) + 3 e ^{x}}{2 ( e ^{2 x} + 1 )}

= \frac{2 e ^{3 x} - 3 e ^{2 x} arctan ( e ^{x} ) - 3 arctan ( e ^{x} ) + 3 e ^{x}}{2 ( e ^{2 x} + 1 )}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{2 e ^{3 x} - 3 e ^{2 x} arctan ( e ^{x} ) - 3 arctan ( e ^{x} ) + 3 e ^{x}}{2 ( e ^{2 x} + 1 )} + C

y^{^{'}} = 20 t^{4} - 20 t^{3} + 3 - 4 t^{- 2}

\frac{d}{d x} (x^{0.75})

\int sin (x) (cos (x))^{3} d x

f (x) = \frac{1}{4 x}

\int x (1 - 2 x^{2})^{9} d x