integral of (x^3+2x^2+3x-2)/(x-2)

解

\int \frac{x ^{3} + 2 x ^{2} + 3 x - 2}{x - 2} d x

4 x^{2} + 7 x + 20 ln ∣ x - 2 ∣ + \frac{1}{3} (x - 2)^{3} - 30 + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{3} + 2 x ^{2} + 3 x - 2}{x - 2} d x

拡張

\frac{x ^{3} + 2 x ^{2} + 3 x - 2}{x - 2} : \frac{x ^{3}}{x - 2} + \frac{2 x ^{2}}{x - 2} + \frac{3 x}{x - 2} - \frac{2}{x - 2}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{x ^{3}}{x - 2} d x + \int \frac{2 x ^{2}}{x - 2} d x + \int \frac{3 x}{x - 2} d x - \int \frac{2}{x - 2} d x

\int \frac{x ^{3}}{x - 2} d x = 3 x^{2} + 8 ln ∣ x - 2 ∣ + \frac{1}{3} (x - 2)^{3} - 12

\int \frac{2 x ^{2}}{x - 2} d x = x^{2} + 4 x + 8 ln ∣ x - 2 ∣ - 12

\int \frac{3 x}{x - 2} d x = 3 (x - 2 + 2 ln ∣ x - 2 ∣)

\int \frac{2}{x - 2} d x = 2 ln ∣ x - 2 ∣

= 3 x^{2} + 8 ln ∣ x - 2 ∣ + \frac{1}{3} (x - 2)^{3} - 12 + x^{2} + 4 x + 8 ln ∣ x - 2 ∣ - 12 + 3 (x - 2 + 2 ln ∣ x - 2 ∣) - 2 ln ∣ x - 2 ∣

簡素化

3 x^{2} + 8 ln ∣ x - 2 ∣ + \frac{1}{3} (x - 2)^{3} - 12 + x^{2} + 4 x + 8 ln ∣ x - 2 ∣ - 12 + 3 (x - 2 + 2 ln ∣ x - 2 ∣) - 2 ln ∣ x - 2 ∣ : 4 x^{2} + 7 x + 20 ln ∣ x - 2 ∣ + \frac{1}{3} (x - 2)^{3} - 30

= 4 x^{2} + 7 x + 20 ln ∣ x - 2 ∣ + \frac{1}{3} (x - 2)^{3} - 30

定数を解答に追加する

= 4 x^{2} + 7 x + 20 ln ∣ x - 2 ∣ + \frac{1}{3} (x - 2)^{3} - 30 + C