integral of sqrt(x^2-2)

Lösung

\int x^{2} - 2 d x

\frac{1}{2} x x^{2} - 2 - ln \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (x^{2} - 2) + C

Schritte zur Lösung

\int x^{2} - 2 d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 2 tan^{2} (u) sec (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int tan^{2} (u) sec (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 2 \cdot \int (- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) d u

Multipliziere aus

(- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) : - sec (u) + sec^{3} (u)

= 2 \cdot \int - sec (u) + sec^{3} (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (- \int sec (u) d u + \int sec^{3} (u) d u)

\int sec (u) d u = ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

\int sec^{3} (u) d u = \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

= 2 (- ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣ + \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣)

Setze in

u = arcsec (\frac{1}{2} x)

ein

= 2 (- ln tan (arcsec (\frac{1}{2} x)) + sec (arcsec (\frac{1}{2} x)) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{2} x)) tan (arcsec (\frac{1}{2} x)) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{2} x)) + sec (arcsec (\frac{1}{2} x)))

Vereinfache

2 (- ln tan (arcsec (\frac{1}{2} x)) + sec (arcsec (\frac{1}{2} x)) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{2} x)) tan (arcsec (\frac{1}{2} x)) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{2} x)) + sec (arcsec (\frac{1}{2} x))) : \frac{1}{2} x x^{2} - 2 - ln \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (x^{2} - 2)

= \frac{1}{2} x x^{2} - 2 - ln \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (x^{2} - 2)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} x x^{2} - 2 - ln \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (x^{2} - 2) + C

\int x^{2} 1 - x^{2} d x

\int sin (2 x) 5 + sin^{2} (x) d x

\frac{d}{d x} (a e^{- 5 x} + b e^{- 3 x} + c x e^{- x})

\int_{0}^{2} 4.0553 e^{1.8 t} d t

\frac{\partial}{\partial x} (\frac{( x + y )}{x + z})