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integral of (sqrt(x-3))/(sqrt(x+1))

Lösung

\int \frac{x - 3}{x + 1} d x

x - 3 x + 1 - 4 ln (\frac{1}{2} x + 1 + x - 3) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x - 3}{x + 1} d x

Wende U-Substitution an

= \int 2 u^{2} - 4 d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int u^{2} - 4 d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= 2 \cdot \int 4 tan^{2} (v) sec (v) d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot 4 \cdot \int tan^{2} (v) sec (v) d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 2 \cdot 4 \cdot \int (- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) d v

Multipliziere aus

(- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) : - sec (v) + sec^{3} (v)

= 2 \cdot 4 \cdot \int - sec (v) + sec^{3} (v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 \cdot 4 (- \int sec (v) d v + \int sec^{3} (v) d v)

\int sec (v) d v = ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

\int sec^{3} (v) d v = \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

= 2 \cdot 4 (- ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣ + \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣)

Ersetze zurück

= 2 \cdot 4 (- ln tan (arcsec (\frac{1}{2} x + 1)) + sec (arcsec (\frac{1}{2} x + 1)) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{2} x + 1)) tan (arcsec (\frac{1}{2} x + 1)) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{2} x + 1)) + sec (arcsec (\frac{1}{2} x + 1)))

Vereinfache

2 \cdot 4 (- ln tan (arcsec (\frac{1}{2} x + 1)) + sec (arcsec (\frac{1}{2} x + 1)) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{2} x + 1)) tan (arcsec (\frac{1}{2} x + 1)) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{2} x + 1)) + sec (arcsec (\frac{1}{2} x + 1))) : x - 3 x + 1 - 4 ln (\frac{1}{2} x + 1 + x - 3)

= x - 3 x + 1 - 4 ln (\frac{1}{2} x + 1 + x - 3)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= x - 3 x + 1 - 4 ln (\frac{1}{2} x + 1 + x - 3) + C

y^{^{''}} - y^{^{'}} - 6 y = 0, y (0) = 1, y^{^{'}} (0) = 0

\int \frac{9}{x ( x + 3 )} d x

\int ln (y) d y

\int 3 x^{2} - 24 x + 36 d x

\frac{d y}{d x} = \frac{( x - y )}{x + 2 y}, y (0) = 1