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受欢迎的微积分 >

integral of (2e^{2x})/(e^{2x)+16e^x+63}

解答

\int \frac{2 e ^{2 x}}{e ^{2 x} + 16 e ^{x} + 63} d x

解答

ln 16 e^{x} + e^{2 x} + 63 + 8 ln ∣ e^{x} + 9 ∣ - 8 ln ∣ e^{x} + 7 ∣ + C

求解步骤

\int \frac{2 e ^{2 x}}{e ^{2 x} + 16 e ^{x} + 63} d x

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{e ^{2 x}}{e ^{2 x} + 16 e ^{x} + 63} d x

使用换元积分法

= 2 \cdot \int \frac{u}{u ^{2} + 16 u + 63} d u

对

u^{2} + 16 u + 63

配方:

(u + 8)^{2} - 1

= 2 \cdot \int \frac{u}{( u + 8 ) ^{2} - 1} d u

使用换元积分法

= 2 \cdot \int \frac{v - 8}{v ^{2} - 1} d v

乘开

\frac{v - 8}{v ^{2} - 1} : \frac{v}{v ^{2} - 1} - \frac{8}{v ^{2} - 1}

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (\int \frac{v}{v ^{2} - 1} d v - \int \frac{8}{v ^{2} - 1} d v)

\int \frac{v}{v ^{2} - 1} d v = \frac{1}{2} ln v^{2} - 1

\int \frac{8}{v ^{2} - 1} d v = - 8 (\frac{1}{2} ln ∣ v + 1 ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ v - 1 ∣)

= 2 (\frac{1}{2} ln v^{2} - 1 - (- 8 (\frac{1}{2} ln ∣ v + 1 ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ v - 1 ∣)))

代回

= 2 (\frac{1}{2} ln (e^{x} + 8)^{2} - 1 - (- 8 (\frac{1}{2} ln ∣ e^{x} + 8 + 1 ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} + 8 - 1 ∣)))

化简

2 (\frac{1}{2} ln (e^{x} + 8)^{2} - 1 - (- 8 (\frac{1}{2} ln ∣ e^{x} + 8 + 1 ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} + 8 - 1 ∣))) : ln 16 e^{x} + e^{2 x} + 63 + 8 ln ∣ e^{x} + 9 ∣ - 8 ln ∣ e^{x} + 7 ∣

= ln 16 e^{x} + e^{2 x} + 63 + 8 ln ∣ e^{x} + 9 ∣ - 8 ln ∣ e^{x} + 7 ∣

解答补常数

= ln 16 e^{x} + e^{2 x} + 63 + 8 ln ∣ e^{x} + 9 ∣ - 8 ln ∣ e^{x} + 7 ∣ + C

作图

流行的例子

s im pl i f y ln (x^{6})

integral from 0 to 1 of (x^4)/(x^5-1)

\int_{0}^{1} \frac{x ^{4}}{x ^{5} - 1} d x

sum from n=0 to infinity of 2(-5)^n

n = 0 \sum \infty 2 (- 5)^{n}

inverselaplace 1/(s^3-7s)

in v erse l a pl a ce \frac{1}{s ^{3} - 7 s}

y^{'''}+64y^'=0

y^{^{'''}} + 64 y^{^{'}} = 0