интеграл с 0 до 1 от 6/(x^2+2x-8)

Решение

\int_{0}^{1} \frac{6}{x ^{2} + 2 x - 8} d x

- ln (\frac{5}{2})

десятичными цифрами

- 0.91629 \dots

Шаги решения

\int_{0}^{1} \frac{6}{x ^{2} + 2 x - 8} d x

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 6 \cdot \int_{0}^{1} \frac{1}{x ^{2} + 2 x - 8} d x

Найдите множитель

x^{2} + 2 x - 8 : - (- x^{2} - 2 x + 8)

= 6 \cdot \int_{0}^{1} \frac{1}{- ( - x ^{2} - 2 x + 8 )} d x

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 6 (- \int_{0}^{1} \frac{1}{- x ^{2} - 2 x + 8} d x)

Заполните квадрат

- x^{2} - 2 x + 8 : - (x + 1)^{2} + 9

= 6 (- \int_{0}^{1} \frac{1}{- ( x + 1 ) ^{2} + 9} d x)

Применить подстановку интеграла

= 6 (- \int_{1}^{2} \frac{1}{- u ^{2} + 9} d u)

Применить подстановку интеграла

= 6 (- \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} \frac{1}{3 ( - v ^{2} + 1 )} d v)

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 6 (- \frac{1}{3} \cdot \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v)

Использовать общий интеграл:

\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v = \frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}

= 6 (- \frac{1}{3} [\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}]_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}})

Упростите

6 (- \frac{1}{3} [\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}]_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}) : - 2 [\frac{1}{2} (ln ∣ v + 1 ∣ - ln ∣ v - 1 ∣)]_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}

= - 2 [\frac{1}{2} (ln ∣ v + 1 ∣ - ln ∣ v - 1 ∣)]_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}

Вычислить границы:

\frac{ln ( \frac{5}{3} ) + ln ( 3 ) - ln ( \frac{4}{3} ) + ln ( \frac{2}{3} )}{2}

= - 2 \cdot \frac{ln ( \frac{5}{3} ) + ln ( 3 ) - ln ( \frac{4}{3} ) + ln ( \frac{2}{3} )}{2}

После упрощения получаем

= - ln (\frac{5}{2})