integral of e^{-sx}sin(ax)

Lösung

\int e^{- s x} sin (a x) d x

- \frac{a e ^{- s x} cos ( a x )}{a ^{2} + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s x} sin ( a x )}{a ^{2} + s ^{2}} + C

Schritte zur Lösung

\int e^{- s x} sin (a x) d x

Wende die partielle Integration an

= - e^{- s x} \frac{1}{a} cos (a x) - \int s e^{- s x} \frac{1}{a} cos (a x) d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - e^{- s x} \frac{1}{a} cos (a x) - s \frac{1}{a} \cdot \int e^{- s x} cos (a x) d x

Vereinfache

s \frac{1}{a} : \frac{s}{a}

= - e^{- s x} \frac{1}{a} cos (a x) - \frac{s}{a} \cdot \int e^{- s x} cos (a x) d x

Wende die partielle Integration an

= - e^{- s x} \frac{1}{a} cos (a x) - \frac{s}{a} (e^{- s x} \frac{1}{a} sin (a x) - \int - s e^{- s x} \frac{1}{a} sin (a x) d x)

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - e^{- s x} \frac{1}{a} cos (a x) - \frac{s}{a} (e^{- s x} \frac{1}{a} sin (a x) - (- s \frac{1}{a} \cdot \int e^{- s x} sin (a x) d x))

Vereinfache

- s \frac{1}{a} : - \frac{s}{a}

= - e^{- s x} \frac{1}{a} cos (a x) - \frac{s}{a} (e^{- s x} \frac{1}{a} sin (a x) - (- \frac{s}{a} \cdot \int e^{- s x} sin (a x) d x))

Deshalb

\int e^{- s x} sin (a x) d x = - e^{- s x} \frac{1}{a} cos (a x) - \frac{s}{a} (e^{- s x} \frac{1}{a} sin (a x) - (- \frac{s}{a} \cdot \int e^{- s x} sin (a x) d x))

Isoliere

\int e^{- s x} sin (a x) d x

= - \frac{a e ^{- s x} cos ( a x )}{a ^{2} + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s x} sin ( a x )}{a ^{2} + s ^{2}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{a e ^{- s x} cos ( a x )}{a ^{2} + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s x} sin ( a x )}{a ^{2} + s ^{2}} + C

\int e^{x^{1}} d x

\int sin (x) - 2 d x

x \to 1 lim (x + 5)

\frac{d}{d x} ((3 x - 1)^{5} (2 x + 3)^{4})

d er i v a t i v e e^{- 4 t}