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人気のある微分積分 >

integral of 1/(sqrt(1+x+x^2))

解

\int \frac{1}{1 + x + x ^{2}} d x

解

ln \frac{2}{3} x + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (4 x^{2} + 4 x + 4) + C

解答ステップ

\int \frac{1}{1 + x + x ^{2}} d x

平方完成する

1 + x + x^{2} : (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}

= \int \frac{1}{( x + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{2}{4 u ^{2} + 3} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{4 u ^{2} + 3} d u

三角関数による置換を適用する

= 2 \cdot \int \frac{sec ( v )}{2} d v

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int sec (v) d v

共通積分を使用する:

\int sec (v) d v = ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

= 2 \cdot \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

代用を戻す

= 2 \cdot \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{2}{3} (x + \frac{1}{2}))) + sec (arctan (\frac{2}{3} (x + \frac{1}{2})))

簡素化

2 \cdot \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{2}{3} (x + \frac{1}{2}))) + sec (arctan (\frac{2}{3} (x + \frac{1}{2}))) : ln \frac{2}{3} x + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (4 x^{2} + 4 x + 4)

= ln \frac{2}{3} x + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (4 x^{2} + 4 x + 4)

定数を解答に追加する

= ln \frac{2}{3} x + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (4 x^{2} + 4 x + 4) + C

グラフ

人気の例

f^'(x)=5(1+e^x)^4e^x

f^{^{'}} (x) = 5 (1 + e^{x})^{4} e^{x}

derivative h(w)=(5w^3-w)/w

d er i v a t i v e h (w) = \frac{5 w ^{3} - w}{w}

derivative of (x^2-3^4)

\frac{d}{d x} ((x^{2} - 3)^{4})

derivative of (a+b/(x^2)^3)

\frac{d}{d x} ((a + \frac{b}{x ^{2}})^{3})

roo t s x y^{3}