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integral of 1/((x^2+3)^2)

Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}} d x

\frac{1}{6 3} (arctan (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{3}))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}} d x

Wende integrale Substitution an

= \int \frac{3}{( 3 u ^{2} + 3 ) ^{2}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int \frac{1}{( 3 u ^{2} + 3 ) ^{2}} d u

Faktorisiere

\frac{1}{( 3 u ^{2} + 3 ) ^{2}}

= 3 \cdot \int \frac{1}{9 ( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \frac{1}{9} \cdot \int \frac{1}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= 3 \frac{1}{9} \cdot \int \frac{1}{sec ^{4} ( v ) cos ^{2} ( v )} d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 3 \frac{1}{9} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 3 \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= 3 \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Ersetze zurück

= 3 \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2} (arctan (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{3})))

Vereinfache

3 \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2} (arctan (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{3}))) : \frac{1}{6 3} (arctan (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{3})))

= \frac{1}{6 3} (arctan (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{3})))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{6 3} (arctan (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{3}))) + C

\frac{d}{d x} (\frac{x ^{2}}{( x + 1 ) ^{2}})

\frac{\partial}{\partial x} (3 x e^{- 3 x y})

\int 5 (2 x - 1)^{4} d x

x \to 0 lim (3 arctan (e^{x}))

\int (a - x)^{2} d x