integral of (x^2)/(sqrt(81-x^2))

Lösung

\int \frac{x ^{2}}{81 - x ^{2}} d x

\frac{81}{2} (arcsin (\frac{1}{9} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{9} x))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x ^{2}}{81 - x ^{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 81 sin^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 81 \cdot \int sin^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 81 \cdot \int \frac{1 - cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 81 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 - cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 81 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u - \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= 81 \cdot \frac{1}{2} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{9} x)

ein

= 81 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{9} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{9} x)))

Vereinfache

81 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{9} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{9} x))) : \frac{81}{2} (arcsin (\frac{1}{9} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{9} x)))

= \frac{81}{2} (arcsin (\frac{1}{9} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{9} x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{81}{2} (arcsin (\frac{1}{9} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{9} x))) + C

\int \frac{1}{x ( 1 + x ^{3} )} d x

a re a y = 5 x, y = 4, 2 y + x = 6

\int_{0}^{1} x 1 + x^{2} d x

d er i v a t i v e x^{6} (1 - \frac{1}{x + 5})

\int_{1}^{8} \frac{7 ln ( x )}{x ^{2}} d x