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integral from 0 to pi of sin^4(3t)

解答

\int_{0}^{π} sin^{4} (3 t) d t

解答

\frac{3 π}{8}

+1

十进制

1.17809 \dots

求解步骤

\int_{0}^{π} sin^{4} (3 t) d t

使用换元积分法

= \int_{0}^{3 π} sin^{4} (u) \frac{1}{3} d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot \int_{0}^{3 π} sin^{4} (u) d u

使用降次积分法

= \frac{1}{3} (- [\frac{cos ( u ) sin ^{3} ( u )}{4}]_{0}^{3 π} + \frac{3}{4} \cdot \int_{0}^{3 π} sin^{2} (u) d u)

\int_{0}^{3 π} sin^{2} (u) d u = \frac{3 π}{2}

= \frac{1}{3} (- [\frac{cos ( u ) sin ^{3} ( u )}{4}]_{0}^{3 π} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3 π}{2})

化简

\frac{1}{3} (- [\frac{cos ( u ) sin ^{3} ( u )}{4}]_{0}^{3 π} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3 π}{2}) : \frac{1}{3} (- [\frac{1}{4} sin^{3} (u) cos (u)]_{0}^{3 π} + \frac{9 π}{8})

= \frac{1}{3} (- [\frac{1}{4} sin^{3} (u) cos (u)]_{0}^{3 π} + \frac{9 π}{8})

带入上下限计算后得:

0

= \frac{1}{3} (- 0 + \frac{9 π}{8})

化简

= \frac{3 π}{8}

作图

流行的例子

integral of 40x^3+20

\int 40 x^{3} + 20 d x

integral of 20-sqrt((20)^2-x^2)

\int 20 - (20)^{2} - x^{2} d x

integral of (4x^3+3^x)

\int (4 x^{3} + 3^{x}) d x

integral of ((e^x-2)e^x)/(e^x+1)

\int \frac{( e ^{x} - 2 ) e ^{x}}{e ^{x} + 1} d x

(d^2)/(dx^2)(sqrt(x))

\frac{d ^{2}}{d x ^{2}} (x)