интеграл от 1/((4x^2-4x-3)^{3/2)}

Решение

\int \frac{1}{( 4 x ^{2} - 4 x - 3 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

- \frac{2 x - 1}{8 ( 4 x ^{2} - 4 x - 3 ) ^{\frac{1}{2}}} + C

Шаги решения

\int \frac{1}{( 4 x ^{2} - 4 x - 3 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Заполните квадрат

4 x^{2} - 4 x - 3 : 4 (x - \frac{1}{2})^{2} - 4

= \int \frac{1}{( 4 ( x - \frac{1}{2} ) ^{2} - 4 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Применить подстановку интеграла

= \int \frac{1}{8 ( u ^{2} - 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{8} \cdot \int \frac{1}{( u ^{2} - 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

Примените тригонометрическую подстановку

= \frac{1}{8} \cdot \int cot^{2} (v) sec (v) d v

Упростить

cot^{2} (v) sec (v) : cot (v) csc (v)

= \frac{1}{8} \cdot \int cot (v) csc (v) d v

Применить подстановку интеграла

= \frac{1}{8} \cdot \int - 1 d w

Интеграл константы:

\int a d x = a x

= \frac{1}{8} (- 1) w

Делаем обратную замену

= \frac{1}{8} (- 1) csc (arcsec (x - \frac{1}{2}))

Упростите

\frac{1}{8} (- 1) csc (arcsec (x - \frac{1}{2})) : - \frac{2 x - 1}{8 ( 4 x ^{2} - 4 x - 3 ) ^{\frac{1}{2}}}

= - \frac{2 x - 1}{8 ( 4 x ^{2} - 4 x - 3 ) ^{\frac{1}{2}}}

Добавить константу к решению

= - \frac{2 x - 1}{8 ( 4 x ^{2} - 4 x - 3 ) ^{\frac{1}{2}}} + C