integral of sin^2(x-y)

解

\int sin^{2} (x - y) d y

\frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} sin (- 2 y + 2 x)) + C

解答ステップ

\int sin^{2} (x - y) d y

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int \frac{1 - cos ( 2 ( x - y ) )}{2} d y

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int 1 - cos (2 (x - y)) d y

x - y = x (1 - \frac{y}{x})

= \frac{1}{2} \cdot \int 1 - cos (2 x (1 - \frac{y}{x})) d y

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int 1 d y - \int cos (2 x (1 - \frac{y}{x})) d y)

\int 1 d y = y

\int cos (2 x (1 - \frac{y}{x})) d y = - \frac{1}{2} sin (- 2 y + 2 x)

= \frac{1}{2} (y - (- \frac{1}{2} sin (- 2 y + 2 x)))

簡素化

= \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} sin (- 2 y + 2 x))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} sin (- 2 y + 2 x)) + C