inverselaplace 1/s*1/((s^2+3s+4))

解

逆ラプラス

\frac{1}{s} \cdot \frac{1}{( s ^{2} + 3 s + 4 )}

\frac{1}{4} H (t) - \frac{1}{4} e^{- \frac{3 t}{2}} cos (\frac{7 t}{2}) - \frac{3 e ^{- \frac{3 t}{2}} sin ( \frac{7 t}{2} )}{4 7}

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{1}{s} \cdot \frac{1}{( s ^{2} + 3 s + 4 )}}

拡張

\frac{1}{s} \frac{1}{s ^{2} + 3 s + 4} : \frac{1}{s ^{3} + 3 s ^{2} + 4 s}

= L^{- 1} {\frac{1}{s ^{3} + 3 s ^{2} + 4 s}}

以下の部分分数を得る:

\frac{1}{s ^{3} + 3 s ^{2} + 4 s} : \frac{1}{4 s} + \frac{- s - 3}{4 ( s ^{2} + 3 s + 4 )}

= L^{- 1} {\frac{1}{4 s} + \frac{- s - 3}{4 ( s ^{2} + 3 s + 4 )}}

拡張

= L^{- 1} {\frac{1}{4 s} + \frac{- s - 3}{4 s ^{2} + 12 s + 16}}

拡張

\frac{- s - 3}{4 s ^{2} + 12 s + 16} : - \frac{1}{4} \cdot \frac{s + \frac{3}{2}}{( s + \frac{3}{2} ) ^{2} + \frac{7}{4}} - \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{( s + \frac{3}{2} ) ^{2} + \frac{7}{4}}

= L^{- 1} {\frac{1}{4 s} - \frac{1}{4} \cdot \frac{s + \frac{3}{2}}{( s + \frac{3}{2} ) ^{2} + \frac{7}{4}} - \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{( s + \frac{3}{2} ) ^{2} + \frac{7}{4}}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{4 s}} - \frac{1}{4} L^{- 1} {\frac{s + \frac{3}{2}}{( s + \frac{3}{2} ) ^{2} + \frac{7}{4}}} - \frac{3}{8} L^{- 1} {\frac{1}{( s + \frac{3}{2} ) ^{2} + \frac{7}{4}}}

L^{- 1} {\frac{1}{4 s}} : \frac{1}{4} H (t)

L^{- 1} {\frac{s + \frac{3}{2}}{( s + \frac{3}{2} ) ^{2} + \frac{7}{4}}} : e^{- \frac{3 t}{2}} cos (\frac{7 t}{2})

L^{- 1} {\frac{1}{( s + \frac{3}{2} ) ^{2} + \frac{7}{4}}} : e^{- \frac{3 t}{2}} \frac{2}{7} sin (\frac{7 t}{2})

= \frac{1}{4} H (t) - \frac{1}{4} e^{- \frac{3 t}{2}} cos (\frac{7 t}{2}) - \frac{3}{8} e^{- \frac{3 t}{2}} \frac{2}{7} sin (\frac{7 t}{2})

改良

\frac{1}{4} H (t) - \frac{1}{4} e^{- \frac{3 t}{2}} cos (\frac{7 t}{2}) - \frac{3}{8} e^{- \frac{3 t}{2}} \frac{2}{7} sin (\frac{7 t}{2}) : \frac{1}{4} H (t) - \frac{1}{4} e^{- \frac{3 t}{2}} cos (\frac{7 t}{2}) - \frac{3 e ^{- \frac{3 t}{2}} sin ( \frac{7 t}{2} )}{4 7}

= \frac{1}{4} H (t) - \frac{1}{4} e^{- \frac{3 t}{2}} cos (\frac{7 t}{2}) - \frac{3 e ^{- \frac{3 t}{2}} sin ( \frac{7 t}{2} )}{4 7}