inverselaplace 5/(s(s^2+4s+5))

解

逆ラプラス

\frac{5}{s ( s ^{2} + 4 s + 5 )}

H (t) - e^{- 2 t} cos (t) - 2 e^{- 2 t} sin (t)

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{5}{s ( s ^{2} + 4 s + 5 )}}

以下の部分分数を得る:

\frac{5}{s ( s ^{2} + 4 s + 5 )} : \frac{1}{s} + \frac{- s - 4}{s ^{2} + 4 s + 5}

= L^{- 1} {\frac{1}{s} + \frac{- s - 4}{s ^{2} + 4 s + 5}}

拡張

\frac{- s - 4}{s ^{2} + 4 s + 5} : - \frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 1} - 2 \cdot \frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 1}

= L^{- 1} {\frac{1}{s} - \frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 1} - 2 \cdot \frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 1}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{s}} - L^{- 1} {\frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 1}} - 2 L^{- 1} {\frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 1}}

L^{- 1} {\frac{1}{s}} : H (t)

L^{- 1} {\frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 1}} : e^{- 2 t} cos (t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 1}} : e^{- 2 t} sin (t)

= H (t) - e^{- 2 t} cos (t) - 2 e^{- 2 t} sin (t)