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integral of 1/(2sin(x)+cos(x))

Lösung

\int \frac{1}{2 sin ( x ) + cos ( x )} d x

\frac{1}{5} (ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 2}{5} + 1 - ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 2}{5} - 1) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{2 sin ( x ) + cos ( x )} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{2}{4 u + 1 - u ^{2}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{4 u + 1 - u ^{2}} d u

Faktorisiere

4 u + 1 - u^{2} : - (- 4 u - 1 + u^{2})

= 2 \cdot \int \frac{1}{- ( - 4 u - 1 + u ^{2} )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 (- \int \frac{1}{- 4 u - 1 + u ^{2}} d u)

Vervollständige das Quadrat

- 4 u - 1 + u^{2} : (u - 2)^{2} - 5

= 2 (- \int \frac{1}{( u - 2 ) ^{2} - 5} d u)

Wende U-Substitution an

= 2 (- \int \frac{1}{v ^{2} - 5} d v)

Wende integrale Substitution an

= 2 (- \int \frac{1}{5 ( w ^{2} - 1 )} d w)

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 (- \frac{1}{5} \cdot \int \frac{1}{w ^{2} - 1} d w)

Faktorisiere

w^{2} - 1 : - (- w^{2} + 1)

= 2 (- \frac{1}{5} \cdot \int \frac{1}{- ( - w ^{2} + 1 )} d w)

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 (- \frac{1}{5} (- \int \frac{1}{- w ^{2} + 1} d w))

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- w ^{2} + 1} d w = \frac{ln ∣ w + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ w - 1 ∣}{2}

= 2 (- \frac{1}{5} (- (\frac{ln ∣ w + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ w - 1 ∣}{2})))

Ersetze zurück

= 2 - \frac{1}{5} - \frac{ln \frac{t a n ( \frac{x}{2} ) - 2}{5} + 1}{2} - \frac{ln \frac{t a n ( \frac{x}{2} ) - 2}{5} - 1}{2}

Vereinfache

2 - \frac{1}{5} - \frac{ln \frac{t a n ( \frac{x}{2} ) - 2}{5} + 1}{2} - \frac{ln \frac{t a n ( \frac{x}{2} ) - 2}{5} - 1}{2} : \frac{1}{5} (ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 2}{5} + 1 - ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 2}{5} - 1)

= \frac{1}{5} (ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 2}{5} + 1 - ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 2}{5} - 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{5} (ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 2}{5} + 1 - ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 2}{5} - 1) + C

y^{^{'}} = 2 y + x e^{x}

x \to + 0 lim (\frac{ln ( x )}{x})

t an g e n t y = (1 + 4 x)^{8}, (0, 1)

\frac{d y}{d x} + 3 y = 3 x^{2} e^{- 3 x}

\int \frac{18}{9 x ^{2} - x ^{4}} d x