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integral of sqrt(-x^2+4x+5)

Lösung

\int - x^{2} + 4 x + 5 d x

\frac{9}{2} (arcsin (\frac{1}{3} (x - 2)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} (x - 2)))) + C

Schritte zur Lösung

\int - x^{2} + 4 x + 5 d x

Vervollständige das Quadrat

- x^{2} + 4 x + 5 : - (x - 2)^{2} + 9

= \int - (x - 2)^{2} + 9 d x

Wende U-Substitution an

= \int - u^{2} + 9 d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 9 cos^{2} (v) d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 9 \cdot \int cos^{2} (v) d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 9 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 9 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 9 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= 9 \cdot \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Ersetze zurück

= 9 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{3} (x - 2)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} (x - 2))))

Vereinfache

9 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{3} (x - 2)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} (x - 2)))) : \frac{9}{2} (arcsin (\frac{1}{3} (x - 2)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} (x - 2))))

= \frac{9}{2} (arcsin (\frac{1}{3} (x - 2)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} (x - 2))))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{9}{2} (arcsin (\frac{1}{3} (x - 2)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} (x - 2)))) + C

d er i v a t i v e f (x) = - 8 x

\frac{d}{d x} (\frac{arccos ( x )}{( x + 1 ) ^{2}})

\frac{d}{d x} (e^{g (x)} sin (x))

\int_{- \infty}^{12} x e^{\frac{x}{4}} d x

im pl i c i t \frac{d y}{d x}, 3 x^{2} + 2 y^{2} = 30