integral of (x^3+6x^2+3x+6)/(x^3+2x^2)

解

\int \frac{x ^{3} + 6 x ^{2} + 3 x + 6}{x ^{3} + 2 x ^{2}} d x

x - \frac{3}{x} + 4 ln ∣ x + 2 ∣ + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{3} + 6 x ^{2} + 3 x + 6}{x ^{3} + 2 x ^{2}} d x

以下の部分分数を得る:

\frac{x ^{3} + 6 x ^{2} + 3 x + 6}{x ^{3} + 2 x ^{2}} : 1 + \frac{3}{x ^{2}} + \frac{4}{x + 2}

= \int 1 + \frac{3}{x ^{2}} + \frac{4}{x + 2} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int 1 d x + \int \frac{3}{x ^{2}} d x + \int \frac{4}{x + 2} d x

\int 1 d x = x

\int \frac{3}{x ^{2}} d x = - \frac{3}{x}

\int \frac{4}{x + 2} d x = 4 ln ∣ x + 2 ∣

= x - \frac{3}{x} + 4 ln ∣ x + 2 ∣

定数を解答に追加する

= x - \frac{3}{x} + 4 ln ∣ x + 2 ∣ + C