integral of (x^2)/((x-4)(x-5)^2)

解

\int \frac{x ^{2}}{( x - 4 ) ( x - 5 ) ^{2}} d x

16 ln ∣ x - 4 ∣ - 15 ln ∣ x - 5 ∣ - \frac{25}{x - 5} + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{2}}{( x - 4 ) ( x - 5 ) ^{2}} d x

以下の部分分数を得る:

\frac{x ^{2}}{( x - 4 ) ( x - 5 ) ^{2}} : \frac{16}{x - 4} - \frac{15}{x - 5} + \frac{25}{( x - 5 ) ^{2}}

= \int \frac{16}{x - 4} - \frac{15}{x - 5} + \frac{25}{( x - 5 ) ^{2}} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{16}{x - 4} d x - \int \frac{15}{x - 5} d x + \int \frac{25}{( x - 5 ) ^{2}} d x

\int \frac{16}{x - 4} d x = 16 ln ∣ x - 4 ∣

\int \frac{15}{x - 5} d x = 15 ln ∣ x - 5 ∣

\int \frac{25}{( x - 5 ) ^{2}} d x = - \frac{25}{x - 5}

= 16 ln ∣ x - 4 ∣ - 15 ln ∣ x - 5 ∣ - \frac{25}{x - 5}

定数を解答に追加する

= 16 ln ∣ x - 4 ∣ - 15 ln ∣ x - 5 ∣ - \frac{25}{x - 5} + C