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integral of e^{-x}cos(ax)

解答

\int e^{- x} cos (a x) d x

解答

\frac{a e ^{- x} sin ( a x )}{a ^{2} + 1} - \frac{e ^{- x} cos ( a x )}{a ^{2} + 1} + C

求解步骤

\int e^{- x} cos (a x) d x

使用分布积分法

= e^{- x} \frac{1}{a} sin (a x) - \int - e^{- x} \frac{1}{a} sin (a x) d x

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{- x} \frac{1}{a} sin (a x) - (- \frac{1}{a} \cdot \int e^{- x} sin (a x) d x)

使用分布积分法

= e^{- x} \frac{1}{a} sin (a x) - (- \frac{1}{a} (- e^{- x} \frac{1}{a} cos (a x) - \int e^{- x} \frac{1}{a} cos (a x) d x))

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{- x} \frac{1}{a} sin (a x) - (- \frac{1}{a} (- e^{- x} \frac{1}{a} cos (a x) - \frac{1}{a} \cdot \int e^{- x} cos (a x) d x))

因此

\int e^{- x} cos (a x) d x = e^{- x} \frac{1}{a} sin (a x) - (- \frac{1}{a} (- e^{- x} \frac{1}{a} cos (a x) - \frac{1}{a} \cdot \int e^{- x} cos (a x) d x))

整理

\int e^{- x} cos (a x) d x

= \frac{a e ^{- x} sin ( a x )}{a ^{2} + 1} - \frac{e ^{- x} cos ( a x )}{a ^{2} + 1}

解答补常数

= \frac{a e ^{- x} sin ( a x )}{a ^{2} + 1} - \frac{e ^{- x} cos ( a x )}{a ^{2} + 1} + C

作图

流行的例子

integral of 2xe^{-y}

\int 2 x e^{- y} d x

limit as x approaches infinity of pi^x

x \to \infty lim (π^{x})

tangent f(x)= 2/(x+1),(4, 2/5)

t an g e n t f (x) = \frac{2}{x + 1}, (4, \frac{2}{5})

derivative 2*e^{3sqrt(x)}

d er i v a t i v e 2 \cdot e^{3 x}

derivative of 3cos(x-2sin(x))

\frac{d}{d x} (3 cos (x) - 2 sin (x))