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integral of 1/(e^x(e^x+1))

Lösung

\int \frac{1}{e ^{x} ( e ^{x} + 1 )} d x

Lösung

- x - \frac{1}{e ^{x}} + ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{e ^{x} ( e ^{x} + 1 )} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{u ^{2} ( u + 1 )} d u

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{u ^{2} ( u + 1 )} : - \frac{1}{u} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u + 1}

= \int - \frac{1}{u} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u + 1} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{u ^{2}} d u + \int \frac{1}{u + 1} d u

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

\int \frac{1}{u ^{2}} d u = - \frac{1}{u}

\int \frac{1}{u + 1} d u = ln ∣ u + 1 ∣

= - ln ∣ u ∣ - \frac{1}{u} + ln ∣ u + 1 ∣

Setze in

u = e^{x}

ein

= - ln ∣ e^{x} ∣ - \frac{1}{e ^{x}} + ln ∣ e^{x} + 1 ∣

ln ∣ e^{x} ∣ = x

= - x - \frac{1}{e ^{x}} + ln ∣ e^{x} + 1 ∣

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - x - \frac{1}{e ^{x}} + ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + C

Graph

Beliebte Beispiele

y^'=(2x)/(cos(y))

y^{^{'}} = \frac{2 x}{cos ( y )}

integral from 0 to 1.25 of 1000x

\int_{0}^{1.25} 1000 x d x

derivative of (e^{-2x}/(\sqrt[3]{6x-1)})

\frac{d}{d x} (\frac{e ^{- 2 x}}{3 6 x - 1})

y^{''}+y^'+6y=0

y^{^{''}} + y^{^{'}} + 6 y = 0

y^{''}+3y^'+2y= 1/(8+e^x)

y^{^{''}} + 3 y^{^{'}} + 2 y = \frac{1}{8 + e ^{x}}