integral of ((a^2-x^2)^{3/2})/(x^4)

Lösung

\int \frac{( a ^{2} - x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}{x ^{4}} d x

- \frac{( a ^{2} - x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}{3 x ^{3}} + arcsin (\frac{x}{a}) + \frac{( a ^{2} - x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}{x} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{( a ^{2} - x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}{x ^{4}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{cos ^{4} ( u )}{sin ^{4} ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int cot^{4} (u) d u

Wende integrale Reduktion an

= - \frac{cot ^{3} ( u )}{3} - \int cot^{2} (u) d u

\int cot^{2} (u) d u = - u - cot (u)

= - \frac{cot ^{3} ( u )}{3} - (- u - cot (u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{a} x)

ein

= - \frac{cot ^{3} ( arcsin ( \frac{1}{a} x ) )}{3} - (- arcsin (\frac{1}{a} x) - cot (arcsin (\frac{1}{a} x)))

Vereinfache

- \frac{cot ^{3} ( arcsin ( \frac{1}{a} x ) )}{3} - (- arcsin (\frac{1}{a} x) - cot (arcsin (\frac{1}{a} x))) : - \frac{( a ^{2} - x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}{3 x ^{3}} + arcsin (\frac{x}{a}) + \frac{( a ^{2} - x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}{x}

= - \frac{( a ^{2} - x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}{3 x ^{3}} + arcsin (\frac{x}{a}) + \frac{( a ^{2} - x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}{x}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{( a ^{2} - x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}{3 x ^{3}} + arcsin (\frac{x}{a}) + \frac{( a ^{2} - x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}{x} + C

x \to 0 lim (\frac{sin ( 16 x )}{3 x})

\int 3^{2 x} d x

\frac{d}{d x} (2, x)

x \to 0 lim (\frac{x - 7}{3 x + 4})

- 9 y^{^{''}} + 36 y = 0