inverselaplace 1/((s^2+1)(s^2+4s+8))

解

逆ラプラス

\frac{1}{( s ^{2} + 1 ) ( s ^{2} + 4 s + 8 )}

- \frac{4}{65} cos (t) + \frac{7}{65} sin (t) + \frac{4}{65} e^{- 2 t} cos (2 t) + \frac{1}{130} e^{- 2 t} sin (2 t)

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{1}{( s ^{2} + 1 ) ( s ^{2} + 4 s + 8 )}}

以下の部分分数を得る:

\frac{1}{( s ^{2} + 1 ) ( s ^{2} + 4 s + 8 )} : \frac{- 4 s + 7}{65 ( s ^{2} + 1 )} + \frac{4 s + 9}{65 ( s ^{2} + 4 s + 8 )}

= L^{- 1} {\frac{- 4 s + 7}{65 ( s ^{2} + 1 )} + \frac{4 s + 9}{65 ( s ^{2} + 4 s + 8 )}}

拡張

\frac{4 s + 9}{65 ( s ^{2} + 4 s + 8 )} : \frac{4}{65} \cdot \frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 4} + \frac{1}{65} \cdot \frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 4}

= L^{- 1} {\frac{- 4 s + 7}{65 ( s ^{2} + 1 )} + \frac{4}{65} \cdot \frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 4} + \frac{1}{65} \cdot \frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 4}}

拡張

= L^{- 1} {- \frac{4 s}{65 ( s ^{2} + 1 )} + \frac{7}{65 ( s ^{2} + 1 )} + \frac{4}{65} \cdot \frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 4} + \frac{1}{65} \cdot \frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 4}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= - \frac{4}{65} L^{- 1} {\frac{s}{s ^{2} + 1}} + \frac{7}{65} L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2} + 1}} + \frac{4}{65} L^{- 1} {\frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 4}} + \frac{1}{65} L^{- 1} {\frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 4}}

L^{- 1} {\frac{s}{s ^{2} + 1}} : cos (t)

L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2} + 1}} : sin (t)

L^{- 1} {\frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 4}} : e^{- 2 t} cos (2 t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 4}} : e^{- 2 t} \frac{1}{2} sin (2 t)

= - \frac{4}{65} cos (t) + \frac{7}{65} sin (t) + \frac{4}{65} e^{- 2 t} cos (2 t) + \frac{1}{65} e^{- 2 t} \frac{1}{2} sin (2 t)

改良

- \frac{4}{65} cos (t) + \frac{7}{65} sin (t) + \frac{4}{65} e^{- 2 t} cos (2 t) + \frac{1}{65} e^{- 2 t} \frac{1}{2} sin (2 t) : - \frac{4}{65} cos (t) + \frac{7}{65} sin (t) + \frac{4}{65} e^{- 2 t} cos (2 t) + \frac{1}{130} e^{- 2 t} sin (2 t)

= - \frac{4}{65} cos (t) + \frac{7}{65} sin (t) + \frac{4}{65} e^{- 2 t} cos (2 t) + \frac{1}{130} e^{- 2 t} sin (2 t)