inverselaplace 1/((s^2+1)(s^2+4s+8))

Lösung

inverse laplace transformation

\frac{1}{( s ^{2} + 1 ) ( s ^{2} + 4 s + 8 )}

- \frac{4}{65} cos (t) + \frac{7}{65} sin (t) + \frac{4}{65} e^{- 2 t} cos (2 t) + \frac{1}{130} e^{- 2 t} sin (2 t)

Schritte zur Lösung

L^{- 1} {\frac{1}{( s ^{2} + 1 ) ( s ^{2} + 4 s + 8 )}}

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{( s ^{2} + 1 ) ( s ^{2} + 4 s + 8 )} : \frac{- 4 s + 7}{65 ( s ^{2} + 1 )} + \frac{4 s + 9}{65 ( s ^{2} + 4 s + 8 )}

= L^{- 1} {\frac{- 4 s + 7}{65 ( s ^{2} + 1 )} + \frac{4 s + 9}{65 ( s ^{2} + 4 s + 8 )}}

Schreibe

\frac{4 s + 9}{65 ( s ^{2} + 4 s + 8 )}

um:

\frac{4}{65} \cdot \frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 4} + \frac{1}{65} \cdot \frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 4}

= L^{- 1} {\frac{- 4 s + 7}{65 ( s ^{2} + 1 )} + \frac{4}{65} \cdot \frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 4} + \frac{1}{65} \cdot \frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 4}}

Schreibe um

= L^{- 1} {- \frac{4 s}{65 ( s ^{2} + 1 )} + \frac{7}{65 ( s ^{2} + 1 )} + \frac{4}{65} \cdot \frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 4} + \frac{1}{65} \cdot \frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 4}}

Wende die lineare Eigenschaftder inversen Laplace-Transformation an:

Für Funktionen

f (s), g (s)

und Konstanten

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= - \frac{4}{65} L^{- 1} {\frac{s}{s ^{2} + 1}} + \frac{7}{65} L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2} + 1}} + \frac{4}{65} L^{- 1} {\frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 4}} + \frac{1}{65} L^{- 1} {\frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 4}}

L^{- 1} {\frac{s}{s ^{2} + 1}} : cos (t)

L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2} + 1}} : sin (t)

L^{- 1} {\frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 4}} : e^{- 2 t} cos (2 t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 4}} : e^{- 2 t} \frac{1}{2} sin (2 t)

= - \frac{4}{65} cos (t) + \frac{7}{65} sin (t) + \frac{4}{65} e^{- 2 t} cos (2 t) + \frac{1}{65} e^{- 2 t} \frac{1}{2} sin (2 t)

Fasse

- \frac{4}{65} cos (t) + \frac{7}{65} sin (t) + \frac{4}{65} e^{- 2 t} cos (2 t) + \frac{1}{65} e^{- 2 t} \frac{1}{2} sin (2 t)

zusammen:

- \frac{4}{65} cos (t) + \frac{7}{65} sin (t) + \frac{4}{65} e^{- 2 t} cos (2 t) + \frac{1}{130} e^{- 2 t} sin (2 t)

= - \frac{4}{65} cos (t) + \frac{7}{65} sin (t) + \frac{4}{65} e^{- 2 t} cos (2 t) + \frac{1}{130} e^{- 2 t} sin (2 t)

d er i v a t i v e f (x) = x^{2} + 5

y y^{^{'}} - 16 e^{x} = 0

\frac{d}{d y} (e^{- y^{2}})

\frac{d}{d x} (\frac{x ^{2} - x + 1}{x ^{2} + x + 1})

t an g e n t x^{3} - 6 x^{2} + 5 x