integral of sqrt(18-x^2)

Lösung

\int 18 - x^{2} d x

9 (arcsin (\frac{1}{3 2} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3 2} x))) + C

Schritte zur Lösung

\int 18 - x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 18 cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 18 \cdot \int cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 18 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 18 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 18 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= 18 \cdot \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{3 2} x)

ein

= 18 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{3 2} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3 2} x)))

Vereinfache

18 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{3 2} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3 2} x))) : 9 (arcsin (\frac{1}{3 2} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3 2} x)))

= 9 (arcsin (\frac{1}{3 2} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3 2} x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 9 (arcsin (\frac{1}{3 2} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3 2} x))) + C

\frac{d}{d x} (arccot (3 x))

d er i v a t i v e x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{2}{3}}

d er i v a t i v e x - 3

d er i v a t i v e f (t) = t^{\frac{2}{3}} - t^{\frac{1}{3}} + 4

x \to 3 lim (5 x - 3)