integral of x^2sqrt(9-x^2)

Lösung

\int x^{2} 9 - x^{2} d x

\frac{81}{8} (arcsin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{3} x))) + C

Schritte zur Lösung

\int x^{2} 9 - x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 81 sin^{2} (u) cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 81 \cdot \int sin^{2} (u) cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 81 \cdot \int \frac{1 - cos ( 4 u )}{8} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 81 \cdot \frac{1}{8} \cdot \int 1 - cos (4 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 81 \cdot \frac{1}{8} (\int 1 d u - \int cos (4 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (4 u) d u = \frac{1}{4} sin (4 u)

= 81 \cdot \frac{1}{8} (u - \frac{1}{4} sin (4 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{3} x)

ein

= 81 \cdot \frac{1}{8} (arcsin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{3} x)))

Vereinfache

81 \cdot \frac{1}{8} (arcsin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{3} x))) : \frac{81}{8} (arcsin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{3} x)))

= \frac{81}{8} (arcsin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{3} x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{81}{8} (arcsin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{3} x))) + C

\int_{1}^{3} \frac{2}{x ^{2}} d x

\frac{d}{d x} (5 sin (x) cos (x) + 4 csc (x))

\int \frac{1}{2 x - x ^{2} - 10} d x

d er i v a t i v e \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + x + 1}

\int_{0}^{3} 5 x - x^{2} d x