integral of 1/(x^2+2x-8)

Lösung

\int \frac{1}{x ^{2} + 2 x - 8} d x

- \frac{1}{6} (ln \frac{x + 1}{3} + 1 - ln \frac{x + 1}{3} - 1) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{x ^{2} + 2 x - 8} d x

Faktorisiere

x^{2} + 2 x - 8 : - (- x^{2} - 2 x + 8)

= \int \frac{1}{- ( - x ^{2} - 2 x + 8 )} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{1}{- x ^{2} - 2 x + 8} d x

Vervollständige das Quadrat

- x^{2} - 2 x + 8 : - (x + 1)^{2} + 9

= - \int \frac{1}{- ( x + 1 ) ^{2} + 9} d x

Wende U-Substitution an

= - \int \frac{1}{- u ^{2} + 9} d u

Wende integrale Substitution an

= - \int \frac{1}{3 ( - v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v = \frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}

= - \frac{1}{3} (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2})

Ersetze zurück

= - \frac{1}{3} (\frac{ln \frac{x + 1}{3} + 1}{2} - \frac{ln \frac{x + 1}{3} - 1}{2})

Vereinfache

- \frac{1}{3} (\frac{ln \frac{x + 1}{3} + 1}{2} - \frac{ln \frac{x + 1}{3} - 1}{2}) : - \frac{1}{6} (ln \frac{x + 1}{3} + 1 - ln \frac{x + 1}{3} - 1)

= - \frac{1}{6} (ln \frac{x + 1}{3} + 1 - ln \frac{x + 1}{3} - 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{6} (ln \frac{x + 1}{3} + 1 - ln \frac{x + 1}{3} - 1) + C

\frac{d}{d x} (- sin (2 x) \cdot 2)

\int \frac{1}{x ^{2} \cdot 5 + x ^{2}} d x

y^{^{''}} - 8 y^{^{'}} + 18 y = 0, y (0) = - 4, y^{^{'}} (0) = 3

\int \frac{( 1 - cos ( 2 x ) )}{2} d x

x \to 3 lim (\frac{π x}{4})