integral of e^xsin(x/2)

Lösung

\int e^{x} sin (\frac{x}{2}) d x

- \frac{2}{5} e^{x} cos (\frac{x}{2}) + \frac{4}{5} e^{x} sin (\frac{x}{2}) + C

Schritte zur Lösung

\int e^{x} sin (\frac{x}{2}) d x

Wende U-Substitution an

= \int e^{2 u} sin (u) \cdot 2 d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int e^{2 u} sin (u) d u

Wende die partielle Integration an

= 2 (- e^{2 u} cos (u) - \int - 2 e^{2 u} cos (u) d u)

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 (- e^{2 u} cos (u) - (- 2 \cdot \int e^{2 u} cos (u) d u))

Wende die partielle Integration an

= 2 (- e^{2 u} cos (u) - (- 2 (e^{2 u} sin (u) - \int e^{2 u} \cdot 2 sin (u) d u)))

Deshalb

\int e^{2 u} \cdot 2 sin (u) d u = 2 (- e^{2 u} cos (u) - (- 2 (e^{2 u} sin (u) - \int e^{2 u} \cdot 2 sin (u) d u)))

Isoliere

\int e^{2 u} 2 sin (u) d u

= - \frac{2 e ^{2 u} cos ( u )}{5} + \frac{4 e ^{2 u} sin ( u )}{5}

Setze in

u = \frac{x}{2}

ein

= - \frac{2 e ^{2 \cdot \frac{x}{2}} cos ( \frac{x}{2} )}{5} + \frac{4 e ^{2 \cdot \frac{x}{2}} sin ( \frac{x}{2} )}{5}

Vereinfache

- \frac{2 e ^{2 \cdot \frac{x}{2}} cos ( \frac{x}{2} )}{5} + \frac{4 e ^{2 \cdot \frac{x}{2}} sin ( \frac{x}{2} )}{5} : - \frac{2}{5} e^{x} cos (\frac{x}{2}) + \frac{4}{5} e^{x} sin (\frac{x}{2})

= - \frac{2}{5} e^{x} cos (\frac{x}{2}) + \frac{4}{5} e^{x} sin (\frac{x}{2})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{2}{5} e^{x} cos (\frac{x}{2}) + \frac{4}{5} e^{x} sin (\frac{x}{2}) + C

\frac{d}{d x} ((a x^{2} + b x + c) \cdot e^{- \frac{x}{2}})

d er i v a t i v e 4 v^{4} - (12 v^{3} + 9 v)

\frac{d y}{d x} = \frac{( x - y )}{x + y}

\frac{d}{d x} (4 + \frac{4}{x})

\int \frac{x ^{4} + 3 x ^{2} + 5}{x ^{4}} d x