inverselaplace 1/((s^4+1))

解

逆ラプラス

\frac{1}{( s ^{4} + 1 )}

\frac{1}{2 2} e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{1}{2} t) + \frac{1}{2 2} e^{- \frac{t}{2}} sin (\frac{1}{2} t) - \frac{1}{2 2} e^{\frac{t}{2}} cos (\frac{1}{2} t) + \frac{1}{2 2} e^{\frac{t}{2}} sin (\frac{1}{2} t)

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{1}{( s ^{4} + 1 )}}

以下の部分分数を得る:

\frac{1}{s ^{4} + 1} : \frac{s + 2}{2 2 ( s ^{2} + 2 s + 1 )} + \frac{- s + 2}{2 2 ( s ^{2} - 2 s + 1 )}

= L^{- 1} {\frac{s + 2}{2 2 ( s ^{2} + 2 s + 1 )} + \frac{- s + 2}{2 2 ( s ^{2} - 2 s + 1 )}}

拡張

\frac{s + 2}{2 2 ( s ^{2} + 2 s + 1 )} : \frac{1}{2 2} \cdot \frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{2}}

= L^{- 1} ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{2 2} \cdot \frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{2}} + \frac{- s + 2}{2 2 ( s ^{2} - 2 s + 1 )} ⎭ ⎬ ⎫

拡張

\frac{- s + 2}{2 2 ( s ^{2} - 2 s + 1 )} : - \frac{1}{2 2} \cdot \frac{s - \frac{1}{2}}{( s - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{( s - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{2}}

= L^{- 1} ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{2 2} \cdot \frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{2}} - \frac{1}{2 2} \cdot \frac{s - \frac{1}{2}}{( s - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{( s - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{2}} ⎭ ⎬ ⎫

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= \frac{1}{2 2} L^{- 1} ⎩ ⎨ ⎧ \frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{2}} ⎭ ⎬ ⎫ + \frac{1}{4} L^{- 1} ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{2}} ⎭ ⎬ ⎫ - \frac{1}{2 2} L^{- 1} ⎩ ⎨ ⎧ \frac{s - \frac{1}{2}}{( s - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{2}} ⎭ ⎬ ⎫ + \frac{1}{4} L^{- 1} ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{( s - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{2}} ⎭ ⎬ ⎫

L^{- 1} ⎩ ⎨ ⎧ \frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{2}} ⎭ ⎬ ⎫ : e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{1}{2} t)

L^{- 1} ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{2}} ⎭ ⎬ ⎫ : e^{- \frac{t}{2}} 2 sin (\frac{1}{2} t)

L^{- 1} ⎩ ⎨ ⎧ \frac{s - \frac{1}{2}}{( s - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{2}} ⎭ ⎬ ⎫ : e^{\frac{t}{2}} cos (\frac{1}{2} t)

L^{- 1} ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{( s - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{2}} ⎭ ⎬ ⎫ : e^{\frac{t}{2}} 2 sin (\frac{1}{2} t)

= \frac{1}{2 2} e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{1}{2} t) + \frac{1}{4} e^{- \frac{t}{2}} 2 sin (\frac{1}{2} t) - \frac{1}{2 2} e^{\frac{t}{2}} cos (\frac{1}{2} t) + \frac{1}{4} e^{\frac{t}{2}} 2 sin (\frac{1}{2} t)

改良

\frac{1}{2 2} e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{1}{2} t) + \frac{1}{4} e^{- \frac{t}{2}} 2 sin (\frac{1}{2} t) - \frac{1}{2 2} e^{\frac{t}{2}} cos (\frac{1}{2} t) + \frac{1}{4} e^{\frac{t}{2}} 2 sin (\frac{1}{2} t) : \frac{1}{2 2} e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{1}{2} t) + \frac{1}{2 2} e^{- \frac{t}{2}} sin (\frac{1}{2} t) - \frac{1}{2 2} e^{\frac{t}{2}} cos (\frac{1}{2} t) + \frac{1}{2 2} e^{\frac{t}{2}} sin (\frac{1}{2} t)

= \frac{1}{2 2} e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{1}{2} t) + \frac{1}{2 2} e^{- \frac{t}{2}} sin (\frac{1}{2} t) - \frac{1}{2 2} e^{\frac{t}{2}} cos (\frac{1}{2} t) + \frac{1}{2 2} e^{\frac{t}{2}} sin (\frac{1}{2} t)