integral of (x^4+x-1)/(x^2+1)

解

\int \frac{x ^{4} + x - 1}{x ^{2} + 1} d x

\frac{x ^{3}}{3} - x + \frac{1}{2} ln x^{2} + 1 + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{4} + x - 1}{x ^{2} + 1} d x

長除法

\frac{x ^{4} + x - 1}{x ^{2} + 1} : x^{2} - 1 + \frac{x}{x ^{2} + 1}

= \int x^{2} - 1 + \frac{x}{x ^{2} + 1} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int x^{2} d x - \int 1 d x + \int \frac{x}{x ^{2} + 1} d x

\int x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3}

\int 1 d x = x

\int \frac{x}{x ^{2} + 1} d x = \frac{1}{2} ln x^{2} + 1

= \frac{x ^{3}}{3} - x + \frac{1}{2} ln x^{2} + 1

定数を解答に追加する

= \frac{x ^{3}}{3} - x + \frac{1}{2} ln x^{2} + 1 + C