integral of e^{iwt+ibt}

解

\int e^{i wt + ib t} d t

\frac{1}{b + w} sin (b t + wt) - i \frac{1}{b + w} cos (b t + wt) + C

解答ステップ

\int e^{i wt + ib t} d t

虚数の規則を適用する:

e^{ia} = cos (a) + i sin (a)

= \int cos (b t + wt) + i sin (b t + wt) d t

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int cos (b t + wt) d t + \int i sin (b t + wt) d t

\int cos (b t + wt) d t = \frac{1}{b + w} sin (b t + wt)

\int i sin (b t + wt) d t = - i \frac{1}{b + w} cos (b t + wt)

= \frac{1}{b + w} sin (b t + wt) - i \frac{1}{b + w} cos (b t + wt)

定数を解答に追加する

= \frac{1}{b + w} sin (b t + wt) - i \frac{1}{b + w} cos (b t + wt) + C