inverselaplace (10)/(s^2+s+10)*1/s

解

逆ラプラス

\frac{10}{s ^{2} + s + 10} \cdot \frac{1}{s}

H (t) - e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{39 t}{2}) - \frac{e ^{- \frac{t}{2}} sin ( \frac{39 t}{2} )}{39}

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{10}{s ^{2} + s + 10} \cdot \frac{1}{s}}

拡張

\frac{10}{s ^{2} + s + 10} \frac{1}{s} : \frac{10}{s ^{3} + s ^{2} + 10 s}

= L^{- 1} {\frac{10}{s ^{3} + s ^{2} + 10 s}}

以下の部分分数を得る:

\frac{10}{s ^{3} + s ^{2} + 10 s} : \frac{1}{s} + \frac{- s - 1}{s ^{2} + s + 10}

= L^{- 1} {\frac{1}{s} + \frac{- s - 1}{s ^{2} + s + 10}}

拡張

\frac{- s - 1}{s ^{2} + s + 10} : - \frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{39}{4}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{39}{4}}

= L^{- 1} {\frac{1}{s} - \frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{39}{4}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{39}{4}}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{s}} - L^{- 1} {\frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{39}{4}}} - \frac{1}{2} L^{- 1} {\frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{39}{4}}}

L^{- 1} {\frac{1}{s}} : H (t)

L^{- 1} {\frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{39}{4}}} : e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{39 t}{2})

L^{- 1} {\frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{39}{4}}} : e^{- \frac{t}{2}} \frac{2}{39} sin (\frac{39 t}{2})

= H (t) - e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{39 t}{2}) - \frac{1}{2} e^{- \frac{t}{2}} \frac{2}{39} sin (\frac{39 t}{2})

改良

H (t) - e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{39 t}{2}) - \frac{1}{2} e^{- \frac{t}{2}} \frac{2}{39} sin (\frac{39 t}{2}) : H (t) - e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{39 t}{2}) - \frac{e ^{- \frac{t}{2}} sin ( \frac{39 t}{2} )}{39}

= H (t) - e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{39 t}{2}) - \frac{e ^{- \frac{t}{2}} sin ( \frac{39 t}{2} )}{39}