inverselaplace ((s+1))/(s^2+s+1/2)

解

逆ラプラス

\frac{( s + 1 )}{s ^{2} + s + \frac{1}{2}}

e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{t}{2}) + e^{- \frac{t}{2}} sin (\frac{t}{2})

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{( s + 1 )}{s ^{2} + s + \frac{1}{2}}}

拡張

\frac{s + 1}{s ^{2} + s + \frac{1}{2}} : \frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{4}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{4}}

= L^{- 1} {\frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{4}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{4}}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{4}}} + \frac{1}{2} L^{- 1} {\frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{4}}}

L^{- 1} {\frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{4}}} : e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{t}{2})

L^{- 1} {\frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{4}}} : e^{- \frac{t}{2}} \cdot 2 sin (\frac{t}{2})

= e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{t}{2}) + \frac{1}{2} e^{- \frac{t}{2}} \cdot 2 sin (\frac{t}{2})

改良

e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{t}{2}) + \frac{1}{2} e^{- \frac{t}{2}} 2 sin (\frac{t}{2}) : e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{t}{2}) + e^{- \frac{t}{2}} sin (\frac{t}{2})

= e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{t}{2}) + e^{- \frac{t}{2}} sin (\frac{t}{2})