integral of (e^{3x}+2e^x)/(e^{3x)+1}

Lösung

\int \frac{e ^{3 x} + 2 e ^{x}}{e ^{3 x} + 1} d x

\frac{1}{3} ln e^{3 x} + 1 + 2 (\frac{1}{3} ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 e ^{2 x} - 4 e ^{x}}{3} + 23 arctan (\frac{2 e ^{x} - 1}{3}))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{e ^{3 x} + 2 e ^{x}}{e ^{3 x} + 1} d x

Multipliziere aus

\frac{e ^{3 x} + 2 e ^{x}}{e ^{3 x} + 1} : \frac{e ^{3 x}}{e ^{3 x} + 1} + \frac{2 e ^{x}}{e ^{3 x} + 1}

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{e ^{3 x}}{e ^{3 x} + 1} d x + \int \frac{2 e ^{x}}{e ^{3 x} + 1} d x

\int \frac{e ^{3 x}}{e ^{3 x} + 1} d x = \frac{1}{3} ln e^{3 x} + 1

\int \frac{2 e ^{x}}{e ^{3 x} + 1} d x = 2 (\frac{1}{3} ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 e ^{2 x} - 4 e ^{x}}{3} + 23 arctan (\frac{2 e ^{x} - 1}{3})))

= \frac{1}{3} ln e^{3 x} + 1 + 2 (\frac{1}{3} ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 e ^{2 x} - 4 e ^{x}}{3} + 23 arctan (\frac{2 e ^{x} - 1}{3})))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{3} ln e^{3 x} + 1 + 2 (\frac{1}{3} ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 e ^{2 x} - 4 e ^{x}}{3} + 23 arctan (\frac{2 e ^{x} - 1}{3}))) + C

s l o p e in t erce pt (- 2, 3), (2, - 2)

\frac{d v}{d t} = v^{2} + 5 v + 2

\int \frac{6 e ^{6 t}}{9 + e ^{6 t}} d t

\frac{d y}{d x} = \frac{( y + x ^{2} + y ^{2} )}{x}

d er i v a t i v e \frac{x - 2}{2 ( x - 1 ) ^{\frac{3}{2}}}