integral of (x+5)/(x^2+4x+3)

Lösung

\int \frac{x + 5}{x ^{2} + 4 x + 3} d x

\frac{1}{2} ln x^{2} + 4 x + 3 - 3 (\frac{1}{2} ln ∣ x + 3 ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ x + 1 ∣) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x + 5}{x ^{2} + 4 x + 3} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{u}{u ^{2} - 6 u + 8} d u

Vervollständige das Quadrat

u^{2} - 6 u + 8 : (u - 3)^{2} - 1

= \int \frac{u}{( u - 3 ) ^{2} - 1} d u

Wende U-Substitution an

= \int \frac{v + 3}{v ^{2} - 1} d v

Multipliziere aus

\frac{v + 3}{v ^{2} - 1} : \frac{v}{v ^{2} - 1} + \frac{3}{v ^{2} - 1}

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{v}{v ^{2} - 1} d v + \int \frac{3}{v ^{2} - 1} d v

\int \frac{v}{v ^{2} - 1} d v = \frac{1}{2} ln v^{2} - 1

\int \frac{3}{v ^{2} - 1} d v = - 3 (\frac{1}{2} ln ∣ v + 1 ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ v - 1 ∣)

= \frac{1}{2} ln v^{2} - 1 - 3 (\frac{1}{2} ln ∣ v + 1 ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ v - 1 ∣)

Ersetze zurück

= \frac{1}{2} ln (x + 5 - 3)^{2} - 1 - 3 (\frac{1}{2} ln ∣ x + 5 - 3 + 1 ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ x + 5 - 3 - 1 ∣)

Vereinfache

\frac{1}{2} ln (x + 5 - 3)^{2} - 1 - 3 (\frac{1}{2} ln ∣ x + 5 - 3 + 1 ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ x + 5 - 3 - 1 ∣) : \frac{1}{2} ln x^{2} + 4 x + 3 - 3 (\frac{1}{2} ln ∣ x + 3 ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ x + 1 ∣)

= \frac{1}{2} ln x^{2} + 4 x + 3 - 3 (\frac{1}{2} ln ∣ x + 3 ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ x + 1 ∣)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} ln x^{2} + 4 x + 3 - 3 (\frac{1}{2} ln ∣ x + 3 ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ x + 1 ∣) + C

x \to - 8 lim (x + 6)

\frac{d y}{d x} - 2 x y = 10, y (0) = - 8

\int_{2}^{4} 4 (3 x - 1) d x

y^{^{''}} - 100 y = 0

4 y^{^{'}} - 12 x^{2} = 0