integral of sin^5(5x)cos^3(5x)

Lösung

\int sin^{5} (5 x) cos^{3} (5 x) d x

\frac{1}{5} (- \frac{cos ^{4} ( 5 x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( 5 x )}{3} - \frac{cos ^{8} ( 5 x )}{8}) + C

Schritte zur Lösung

\int sin^{5} (5 x) cos^{3} (5 x) d x

Wende U-Substitution an

= \int sin^{5} (u) cos^{3} (u) \frac{1}{5} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{5} \cdot \int sin^{5} (u) cos^{3} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{5} \cdot \int (1 - cos^{2} (u))^{2} sin (u) cos^{3} (u) d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{5} \cdot \int - v^{3} (1 - v^{2})^{2} d v

Multipliziere aus

- v^{3} (1 - v^{2})^{2} : - v^{3} + 2 v^{5} - v^{7}

= \frac{1}{5} \cdot \int - v^{3} + 2 v^{5} - v^{7} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{5} (- \int v^{3} d v + \int 2 v^{5} d v - \int v^{7} d v)

\int v^{3} d v = \frac{v ^{4}}{4}

\int 2 v^{5} d v = \frac{v ^{6}}{3}

\int v^{7} d v = \frac{v ^{8}}{8}

= \frac{1}{5} (- \frac{v ^{4}}{4} + \frac{v ^{6}}{3} - \frac{v ^{8}}{8})

Ersetze zurück

= \frac{1}{5} (- \frac{cos ^{4} ( 5 x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( 5 x )}{3} - \frac{cos ^{8} ( 5 x )}{8})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{5} (- \frac{cos ^{4} ( 5 x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( 5 x )}{3} - \frac{cos ^{8} ( 5 x )}{8}) + C

\frac{d}{d x} (- \frac{4 x}{( - x + 1 ) ^{2} ( x + 1 ) ^{2}})

in v erse l a pl a ce \frac{( 2 s + 3 )}{s ^{2} + 6 s + 13}

d er i v a t i v e sin (π x)

t an g e n t y = 3 + 5 x^{2} - 2 x^{3}

x \to 0 lim ((5 x + 2)^{3})