inverselaplace 1/((s+2)(s^2-2s+5))

解

逆ラプラス

\frac{1}{( s + 2 ) ( s ^{2} - 2 s + 5 )}

\frac{1}{13} e^{- 2 t} - \frac{1}{13} e^{t} cos (2 t) + \frac{3}{26} e^{t} sin (2 t)

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 2 ) ( s ^{2} - 2 s + 5 )}}

以下の部分分数を得る:

\frac{1}{( s + 2 ) ( s ^{2} - 2 s + 5 )} : \frac{1}{13 ( s + 2 )} + \frac{- s + 4}{13 ( s ^{2} - 2 s + 5 )}

= L^{- 1} {\frac{1}{13 ( s + 2 )} + \frac{- s + 4}{13 ( s ^{2} - 2 s + 5 )}}

拡張

\frac{- s + 4}{13 ( s ^{2} - 2 s + 5 )} : - \frac{1}{13} \cdot \frac{s - 1}{( s - 1 ) ^{2} + 4} + \frac{3}{13} \cdot \frac{1}{( s - 1 ) ^{2} + 4}

= L^{- 1} {\frac{1}{13 ( s + 2 )} - \frac{1}{13} \cdot \frac{s - 1}{( s - 1 ) ^{2} + 4} + \frac{3}{13} \cdot \frac{1}{( s - 1 ) ^{2} + 4}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{13 ( s + 2 )}} - \frac{1}{13} L^{- 1} {\frac{s - 1}{( s - 1 ) ^{2} + 4}} + \frac{3}{13} L^{- 1} {\frac{1}{( s - 1 ) ^{2} + 4}}

L^{- 1} {\frac{1}{13 ( s + 2 )}} : \frac{1}{13} e^{- 2 t}

L^{- 1} {\frac{s - 1}{( s - 1 ) ^{2} + 4}} : e^{t} cos (2 t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s - 1 ) ^{2} + 4}} : e^{t} \frac{1}{2} sin (2 t)

= \frac{1}{13} e^{- 2 t} - \frac{1}{13} e^{t} cos (2 t) + \frac{3}{13} e^{t} \frac{1}{2} sin (2 t)

改良

\frac{1}{13} e^{- 2 t} - \frac{1}{13} e^{t} cos (2 t) + \frac{3}{13} e^{t} \frac{1}{2} sin (2 t) : \frac{1}{13} e^{- 2 t} - \frac{1}{13} e^{t} cos (2 t) + \frac{3}{26} e^{t} sin (2 t)

= \frac{1}{13} e^{- 2 t} - \frac{1}{13} e^{t} cos (2 t) + \frac{3}{26} e^{t} sin (2 t)