derivative of (e^{2x}-1/(1-e^{-2x)})

解

\frac{d}{d x} (\frac{e ^{2 x} - 1}{1 - e ^{- 2 x}})

\frac{2 e ^{- 2 x} + 2 e ^{2 x} - 4}{( 1 - e ^{- 2 x} ) ^{2}}

解答ステップ

\frac{d}{d x} (\frac{e ^{2 x} - 1}{1 - e ^{- 2 x}})

商の法則を適用:

(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} \cdot g - g ^{'} \cdot f}{g ^{2}}

= \frac{\frac{d}{d x} ( e ^{2 x} - 1 ) ( 1 - e ^{- 2 x} ) - \frac{d}{d x} ( 1 - e ^{- 2 x} ) ( e ^{2 x} - 1 )}{( 1 - e ^{- 2 x} ) ^{2}}

\frac{d}{d x} (e^{2 x} - 1) = 2 e^{2 x}

\frac{d}{d x} (1 - e^{- 2 x}) = 2 e^{- 2 x}

= \frac{2 e ^{2 x} ( 1 - e ^{- 2 x} ) - 2 e ^{- 2 x} ( e ^{2 x} - 1 )}{( 1 - e ^{- 2 x} ) ^{2}}

拡張

2 e^{2 x} (1 - e^{- 2 x}) - 2 e^{- 2 x} (e^{2 x} - 1) : 2 e^{- 2 x} + 2 e^{2 x} - 4

= \frac{2 e ^{- 2 x} + 2 e ^{2 x} - 4}{( 1 - e ^{- 2 x} ) ^{2}}