inverselaplace s/((s^3+1))

解

逆ラプラス

\frac{s}{( s ^{3} + 1 )}

- \frac{1}{3} e^{- t} + \frac{1}{3} e^{\frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) + \frac{e ^{\frac{t}{2}} sin ( \frac{3 t}{2} )}{3}

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{s}{( s ^{3} + 1 )}}

以下の部分分数を得る:

\frac{s}{s ^{3} + 1} : - \frac{1}{3 ( s + 1 )} + \frac{s + 1}{3 ( s ^{2} - s + 1 )}

= L^{- 1} {- \frac{1}{3 ( s + 1 )} + \frac{s + 1}{3 ( s ^{2} - s + 1 )}}

拡張

\frac{s + 1}{3 ( s ^{2} - s + 1 )} : \frac{1}{3} \cdot \frac{s - \frac{1}{2}}{( s - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{( s - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}

= L^{- 1} {- \frac{1}{3 ( s + 1 )} + \frac{1}{3} \cdot \frac{s - \frac{1}{2}}{( s - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{( s - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= - L^{- 1} {\frac{1}{3 ( s + 1 )}} + \frac{1}{3} L^{- 1} {\frac{s - \frac{1}{2}}{( s - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}} + \frac{1}{2} L^{- 1} {\frac{1}{( s - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}}

L^{- 1} {\frac{1}{3 ( s + 1 )}} : \frac{1}{3} e^{- t}

L^{- 1} {\frac{s - \frac{1}{2}}{( s - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}} : e^{\frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2})

L^{- 1} {\frac{1}{( s - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}} : e^{\frac{t}{2}} \frac{2}{3} sin (\frac{3 t}{2})

= - \frac{1}{3} e^{- t} + \frac{1}{3} e^{\frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) + \frac{1}{2} e^{\frac{t}{2}} \frac{2}{3} sin (\frac{3 t}{2})

改良

- \frac{1}{3} e^{- t} + \frac{1}{3} e^{\frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) + \frac{1}{2} e^{\frac{t}{2}} \frac{2}{3} sin (\frac{3 t}{2}) : - \frac{1}{3} e^{- t} + \frac{1}{3} e^{\frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) + \frac{e ^{\frac{t}{2}} sin ( \frac{3 t}{2} )}{3}

= - \frac{1}{3} e^{- t} + \frac{1}{3} e^{\frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) + \frac{e ^{\frac{t}{2}} sin ( \frac{3 t}{2} )}{3}